Question

Биссектриса BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки 6 и 8 см, найдите длину биссектрисы, если угол BCD - 120°.

Answer 1

<ABD =<CBD ; AD = 8 см ; DC = 6 см ; <BCD =120°.
----------------------------------------------
BD  --> ?

BD² =AB*BC - AD*DC .
AB/BC = AD/DC (свойство биссектрисы  внутреннего угла  треугольника )
AB/BC = 8/6 =4/3 ;
AB =4x ; BC=3x ;
BD² =AB*BC - AD*DC =12x² -48 = 12(x² -4) .
Из треугольника ABC по теореме косинусов :
AB² =BC² + AC² -2BC*AC*cos<C   * * * <C=<BCD =120° * * *
(4x)² =(3x)² +14² -2*3x*14cos120°  * * * cos120° = -1/2  * * *
7x² -42x - 196 =0 ;
x² -6x - 28 =0 ;
x₁ =3-√37  < 0 _не решение  ;
x₂ =3+ √37.
BD² = 12(x² -4) =12 ((3+ √37)² - 4)=12(42+6√37)= 72(7+√37)  ;

BD  =3√(56 +8√37).