Question

Сторона квадрата ABCD равна 1см. На сторонах AB и BC отмечены точки E и F так, что треугольник EFD-равносторонний. Найдите площадь треугольника

Answer 1

ΔЕАD=ΔFCD по гипотенузе (ЕD=FD) и катету (AD=CD).
Значит АЕ=СF обозначим его длину через х.
Тогда ВЕ=ВF=АВ-АЕ=1-х
Из прямоугольного ΔЕАД найдем гипотенузу ЕD:
ЕD²=АЕ²+АД²=х²+1
Из прямоугольного ΔЕBF найдем гипотенузу ЕF:
ЕF²=BЕ²+BF²=2(1-x)²
Т.к. по условию EF=ED=FD, то
х²+1=2(1-х)²
х²+1=2(1-2х+х²)
х²+1=2-4х+2х²
х²-4х+1=0
D=16-4=12
х₁=(4+2√3)/2=2+√3 не соответстует
х₂=(4-2√3)/2=2-√3
ЕD²=(2-√3)²+1=4-4√3+3+1=8-4√3
Площадь равностороннего ΔEFD
S=√3*ЕD²/4=√3(8-4√3)/4=√3(2-√3)=2√3-3