Question

В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC, AB=BC. Косинус угла В равен 13/14. Сторона АВ треугольника продолжена до пересечения в точке D с касательной к окружности, проведенной через вершину С треугольника. Найдите отношение площади треугольника ВDC к площади треугольника АВС

Answer 1

 Из условия следует что $\angle B=arccos\frac{13}{14}\\ \angle ACD=arccos \frac{13}{14}$  
  
   
 Положим что стороны  треугольника   равны   $a$ 
$AC=\sqrt{2a^2-2a^2*\frac{13}{14}}=\frac{a}{ \sqrt{7}}$     
   
 $\angle BDC = 2(\angle BAC - \angle ABC ) \\ \angle BAC=\frac{\pi-arccos\frac{13}{14}}{2}\\ \angle CAD=\frac{\pi+arccos\frac{13}{14}}{2}$ 
 
 По тереме синусов  из   $\Delta ABC$ 
$\frac{a}{sin(3arccos\frac{13}{14})} = \frac{DC}{sin(arccos\frac{13}{14})} \\ CD=\frac{49a}{120}$ 
 
 $S_{ADC} = \frac{\frac{a}{\sqrt{7}} * \frac{49a}{120}}{2} * sin(arccos \frac{13}{14}) = \frac{\sqrt{21}a^2}{160}\\ S_{ABC} = \frac{a^2*sin(arccos\frac{13}{14}}{2} = \frac{\sqrt{27}a^2}{ 28}\\ \frac{S_{DBC}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}+S_{ADC}}{S_{ABC}} = \frac{\sqrt{343}}{120}+1$