Question

Докажите неравенство.

Answer 1

Представим второе слагаемое в следующем виде:
$5 y^{2} = 4 y^{2} + y^{2}$
Тогда левая часть принимает вид:
$x^{2} + 4 y^{2} + y^{2} + 4xy - 4y + 4 = ( x^{2} +4xy+ 4y^{2} ) + ( y^{2} -4y + 4) = \\ = (x+2y)^{2} + (y-2)^{2} \geq 0$
Последняя оценка совершенно очевидна, поскольку сумма квадратов всегда неотрицательна. Неравенство доказано.