Question

∞
Σ1/n!
n=1
Исследовать на сходимость ряд при помощи признака Даламбера

Answer 1

$\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{1:(n+1)!}{1:(n!)} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2}$ для всех $n \geq 1$, следовательно, ряд сходится. Кстати, его сумма будет равна е-1 (где е - экспонента, основание натуральных логарифмов), потому что представление экспоненциальной функции в виде ряда Тейлора выглядит так:

$e^x=1+\frac{x^1}{1!}+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +...$

Отсюда

$e=e^1=1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} +...$

Если из обеих частей равенства вычесть 1, то в левой части будет число е-1, а в правой части - Ваш ряд, следовательно, сумма ряда из Вашего задания равна e-1.

Ответ: ряд сходится, сумма ряда равна e-1.