Question

log 5(x+y)=1
log6x+log6y=1

Answer 1

ОДЗ: $\begin{cases} & \text{ } x\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x+y\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } y\ \textgreater \ 0\end{cases}$
Второе уравнение сделаем по свойству $\log_a b+\log_ac = \log_abc$
$\begin{cases} & \text{ } \log_5(x+y)=1 \\ & \text{ } \log_6xy=1 \end{cases}\to \begin{cases} & \text{ } \log_5(x+y)=\log_55 \\ & \text{ } \log_6xy=\log_66 \end{cases}\to \begin{cases} & \text{ } x+y=5 \\ & \text{ } xy=6 \end{cases}$
Из уравнения 1 выразим переменную х, потом подставим в 2 уравнение
$\begin{cases} & \text{ } x=5-y \\ & \text{ } (5-y)y=6 \end{cases}\\ -y^2+5y=6\\ y^2-5y+6=0$
  По т. Виета:
$y_1=2;\,\,\,\,\,\,y_2=3$
Найдем теперь х1 и х2.
$x_1=5-2=3\\x_2=5-3=2$

Окончательный ответ: $(3;2),\,(2;3).$

Answer 2

ОДЗ: $x+y\ \textgreater \ 0; \ x\ \textgreater \ 0; \ y\ \textgreater \ 0$
$\log_{5}{(x+y)}=1; \ \log_{5}{(x+y)}=\log_{5}{5}; \ x+y=5 \\ \log_{6}x + \log_{6}y=1; \ \log_{6}{(xy)=\log_{6}6; \ xy=6$

$\left \{ {{x+y=5} \atop {xy=6}} \right. \left \{ {{x+\frac{6}{x}=5} \atop {y=\frac{6}{x}}} \right. \left \{ {{x^{2}+6=5x} \atop {y=\frac{6}{x}}} \right. \left \{ {{x^{2}-5x+6=0} \atop {y=\frac{6}{x}}} \right.$
$x^{2}-5x+6=0; \ \ x_{1, 2}= \frac{5 \pm \sqrt{25-24} }{2}= \frac{5 \pm 1 }{2}; \ x_{1}=3; \ x_{2}=2 \\ \left \{ {{x_{1}=3, \ x_{2}=2} \atop {y_{1}=\frac{6}{3}}, \ y_{2}=\frac{6}{2}} \right. \left \{ {{x_{1}=3, \ x_{2}=2} \atop {y_{1}=2}, \ y_{2}=3}} \right.$

Ответ:$(2;3); \ (3;2)$