Question

1) Вычислить интеграл от рациональной функции
∫ dx/x^2-2x-15
2) Вычислить определённый интеграл
от 0 до П/2 ∫ sin(4-x)dx
3) Вычислить интеграл, используя метод замены переменной
∫ 2x/√1+x^2 dx
Пжл с объяснениями.

Answer 1

$\int \frac{dx}{x^2-2x-15}=\int \frac{dx}{(x-1)^2-16}=[\, t=x-1,\; dt=(x-1)'dx=dx\, ]=\\\\=\int \frac{dt}{t^2-16}=\frac{1}{2\cdot 4}\cdot ln|\frac{t-4}{t+4}|+C=\\\\=\frac{1}{8}ln|\frac{x-5}{x+3}|+C$

$2)\; \int _0^{\frac{\pi}{2}}sin(4-x)dx=\\\\=[\, t=4-x,\; dt=-dx,\; t_1=4-0=4,\; t_2=4-\frac{\pi}{2}\, ]=\\\\=-\int _4^{4-\frac{\pi}{2}}sint\cdot dt=-(-cost)|_4^{4-\frac{\pi}{2}}=cos(4-\frac{\pi}{2})-cos4$

$3)\; \int \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}dx=[\, t=1+x^2,\; dt=(1+x^2)'dx=2x\, dx\, ]=\\\\=\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=2\sqrt{t}+C=2\sqrt{1+x^2}+C$