Question

ПОМОГИТЕ! :)
"Применение производной для исследования функций"
Найти:
1) промежутки возрастания и убывания
2) точки экстремума
y=$0,25 x^{4} -2 x^{2}$

Answer 1

функция возр -2< x<0  and 2< x < +8)
функчия убыв -8< x<-2 and 0<x<2 
точки экстремума -2 0 2
8 - это бесконечность

Answer 2

1. Если функция возрастает на данном промежутке , то по правилу производная в каждой точке этого промежутка положительная. И наоборот, если функция убывает, то производная меньше нуля.
Для того, чтобы определить, где у функции максимум, минимум, где она начинает убывать или возрастать, надо найти точки, в которых производная меняет знак. В таких точках производная либо равна 0, либо не существует.
$y'=0.25*4*x^{3} -2*2 x = x^{3} - 4x$
$x^{3} -4x=0 \\ x( x^{2} -4)=0 \\ x(x-2)(x+2)=0 \\ x(1)=0, \\ x(2)=2 \\ x(3)=-2$
Далее рассматриваем знак производной на промежутках:
1) (∞; -2):
y'<0 - значит на этом промежутке функция убывает
2) (-2;0):
y'>0 - функция возрастает
3) (0;2): 
 y'<0 - функция убывает
4) (2;+∞)
y'>0 - функция возрастает
⇒ (∞; -2) ∨ (0;2) функция ↓
(-2;0) ∨ (2;+∞) функция ↑

2. Теперь видно, что в точках с абсциссами (-2) и 2 будут минимумы, в точке с абсциссой 0 - максимум - это и есть экстремумы функции