Question

Найти точку минимума/максимума функции.

Answer 1

Находим первую производную функции:
y' = 3x²-3
Приравниваем ее к нулю:
3x²-3 = 0
x1 = -1
x2 = 1
Вычисляем значения функции 
f(-1) = 2
f(1) = -2
 Найдем вторую производную:
y'' = 6x

y''(-1) = -6<0 - значит точка x = -1 точка максимума функции.
y''(1) = 6>0 - значит точка x = 1 точка минимума функции.


$y=\ln x- \frac{x^2}{2}$
Находим первую производную функции:
y' = (-x²+1)/x
Приравниваем ее к нулю:
-x+1/x = 0
x1 = -1
x2 = 1
Вычисляем значения функции 
f(-1) = -1/2+I•π
f(1) = -1/2

y'' = -x²-1/x2

y''(-1) = -2<0 - значит точка x = -1 точка максимума функции.
y''(1) = -2<0 - значит точка x = 1 точка максимума функции.


$y=-2x^3-3x^2$

y' = 6x(-x-1)
Приравниваем ее к нулю:
-6x²-6x = 0
x1 = -1
x2 = 0
Вычисляем значения функции 
f(-1) = -1
f(0) = 0

 Найдем вторую производную:
y'' = -12x-6

y''(-1) = 6>0 - значит точка x = -1 точка минимума функции.
y''(0) = -6<0 - значит точка x = 0 точка максимума функции.



$y=-2x^3+6x$
Находим первую производную функции:
y' = -6x²+6
Приравниваем ее к нулю:

x1 = -1
x2 = 1
Вычисляем значения функции 
f(-1) = -4
f(1) = 4

Найдем вторую производную:
y'' = -12x

y''(-1) = 12>0 - значит точка x = -1 точка минимума функции.
y''(1) = -12<0 - значит точка x = 1 точка максимума функции.

Answer 2

1) $y=x^3-3x$
$y'=3x^2-3 \\ 3x^2-3=0 \\ 3x^2=3 \\ x^2=1 \\ x=-1,x=1$

   +    -1     -      1     +       

Ответ:  $x_{min}=1$

2)  $y=lnx- \frac{x^2}{2}$
$y'= \frac{1}{x} -x \\ \\ \frac{1}{x} -x=0 \\ \\ \frac{1-x^2}{x} =0 \\ \\ 1-x^2=0 \\ x \neq 0 \\ \\ x^2=1 \\ x=-1,x=1$

   -    -1     +     1     -      

Ответ:   $x_{max}=1$

3) $y=-2x^3-3x^2$
$y'=-6x^2-6x \\ -6x^2-6x=0 |:(-6) \\ x^2+x=0 \\ x(x+1)=0 \\ x=0,x=-1$

   -    -1     +     0     -      

Ответ:   $x_{min}=-1$

4) $y=-2x^3+6x$
$y'=-6x^2+6 \\ -6x^2+6=0|:(-6) \\ x^2-1=0 \\ x^2=1 \\ x=б1$

   -    -1     +     1    -      

Ответ:  $x_{min}=-1$