Question

cos2x+5(√3)sinx+8=0 решите

Answer 1

Ответ:

$(-1) ^{n+1} * \frac{\pi }{3} +\pi n,~n\in\mathbb {Z}$

Объяснение:

$cos2x+5\sqrt{3} sinx+8=0;\\1-2sin^{2} x+5\sqrt{3} sinx+8=0;\\-2sin^{2} x+5\sqrt{3} sinx+9=0;\\2sin^{2} x-5\sqrt{3} sinx-9=0.$

Пусть $sinx=t,|t|\leq 1.$ Тогда уравнение принимает вид:

$2t^{2} -5\sqrt{3} t-9=0;\\D= (-5\sqrt{3} )^{2} -4*2*(-9) = 75+72=147>0 ,\sqrt{D} =\sqrt{147} =\sqrt{49*3} =7\sqrt{3} .$

$\left [ \begin{array}{lcl} {{t=\frac{5\sqrt{3} -7\sqrt{3} }{4} ,} \\\\ {t=\frac{5\sqrt{3} +7\sqrt{3} }{4} ;}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{lcl} {{t=-\frac{\sqrt{3} }{2} ,} \\\\ {t=3\sqrt{3}. }} \end{array} \right.$

Условию $|t|\leq 1$ удовлетворяет $t=-\frac{\sqrt{3} }{2}$.  Значит

$sinx=-\frac{\sqrt{3} }{2} ;\\\\x= (-1) ^{n} *arcsin ( -\frac{\sqrt{3} }{2} ) +\pi n,~n\in\mathbb {Z};\\\\x= (-1) ^{n+1} * \frac{\pi }{3} +\pi n,~n\in\mathbb {Z}$