Question

Высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке Н. Точки М и N - середины отрезков АВ и СН соответственно.
а) Докажите, что треугольники А1МВ1 и А1NВ1 равнобедренные.
б) Найдите площадь четырехугольника А1МВ1N, если известно, что А1В1 =6 и MN=4.

Answer 1

а) A₁N и B₁N - медианы прямоугольных треугольников HA₁C и HB₁C с общей гипотенузой HC. Значит они равны половине AC и равны между собой. Аналогично, A₁M=B₁M как медианы прямоугольных тр-ков ABA₁ и BAB₁ с общей гипотенузой AB. т.е. а) доказано.
б) Т,к. треугольники MNA₁ и MNB₁ равны по трем сторонам, то MN - биссектриса равнобедренного тр-ка A₁MB₁ и значит MN⊥A₁B₁. Т.к. площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, то S(A₁MB₁N)=6*4/2=12.