Question

Решить дифференциальные уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами
а)y''+6y'+5y=(3x+4)*e^4x
б)y''+6y'+5y=7cosx+2sinx

Answer 1

Второй - сами
$k^2+6k+5=0\\ d=36-4*1*5=16\\ k1=-6+4/2=-1\\ k2=-6-4/2=-5\\ y(obsh.odnor.)=C1*e^{-x}+C2*e^{-5}\\ y(chast. neodnor.) = (Ax+B)e^{4x}\\ y'=Ae^{4x}+4(Ax+B)e^{4x}\\ y''=4Ae^{4x}+4(Ae^{4x}+4(Ax+B)e^{4x})\\ ------------------\\ 4Ae^{4x}+4(Ae^{4x}+4(Ax+B)e^{4x})+6(Ae^{4x}+4(Ax+B)e^{4x})+5=\\ =(3x+4)e^{4x}=\\ 4Ae^{4x}+4Ae^{4x}+16(Ax+B)e^{4x}+6Ae^{4x}+24(Ax+B)e^{4x}+5=\\ =(3x+4)e^{4x}\\ 4A+4A+16(Ax+B)+6A+24(Ax+B)+5=(3x+4)\\ 14A+40Ax+40B+5=(3x+4)$
$x0: 14A+40B+5=4\\ x: 40A=3 \\ A=3/40\\ 14*3/40+40B+1=0$
$B=-82/1600\\ y(chast. neodn.) = (3/40*x-82/1600)e^{4x}\\ y=(3/40*x-82/1600)e^{4x}+C1*e^{-x}+C2*e^{-5x}$