Question

Найти наибольшее значение функции.

Объясните, пожалуйста, решение подробнее. Не могу понять как нашли производную.

Answer 1

$y=(x+6)^2(x-10)+8$

Для того, чтобы найти наибольшее (или наименьшее) значение функции нужно найти значения функции на концах заданного промежутка и в точках минимума и максимума.
Для того, чтобы найти точки минимума или максимума(экстремумы) нужно найти производную и приравнять ее к 0.

$y'=((x+6)^2(x-10)+8)'=((x+6)^2(x-10))'+(8)'=\\\\=((x+6)^2)'(x-10)+(x+6)^2(x-10)'=2(x+6)(x-10)+(x+6)^2=\\\\=(x+6)(2(x-10)+x+6)=(x+6)(2x-20+x+6)=(x+6)(3x-14)$
$y'=0$
$(x+6)(3x-14)=0\\x=-6,x=\frac{14}3$

$x=\frac{14}3$  - не удовлетворяет промежутку  $[-14;-3]$  поэтому ее рассматривать не будем.

Теперь найдем значения функции на концах промежутка и в точке экстремума.

$y(-6)=(x+6)^2(x-10)+8=(-6+6)^2(x-10)+8=0+8=8$
$y(-14)=(14+6)^2(-14-10)+8=20^2*(-24)+8\ \textless \ 0$
$y(-3)=(-3+6)^2(-3-10)+8=3^2*(-13)+8\ \textless \ 0$

Наибольшее значение функции 8.

Answer 2

у=(x+6)²(x-10)+8
Сначала берется производная от суммы:
у' = [(x+6)²(x-10)] ' +(8) ' = [(x+6)²(x-10)] ' + 0 = [(x+6)²(x-10)] '

Теперь берем производную от произведения. 
Используем формулу:
(f(x)) * g(x)) ' = f(x) ' * g(x) + f(x) * g(x) '.
f(x) = (x+6)²
g(x)=x-10

y ' = [(x+6)²] ' * (x-10) + (x+6)² * (x-10) ' =
___________________________________________
Производная [(x+6)²] '  берется по формуле:        |
(u^n) ' = n u^(n-1) * u ' = 2(x+6)²⁻¹ * (x+6) ' = 2(x+6)  |
 Производная (х-10) ' = 1                                           |
___________________________________________|

=2(x+6)(x-10) + (x+6)² = (x+6)(2x-20+x+6)=(x+6)(3x-14)