Question

В правильной треугольной пирамиде SABC M-середина ребра AB, S-вершина. Известно, что BC=3, а площадь боковой поверхности пирамиды=45. Найдите длину отрезка SM. 

Answer 1

Поскольку пирамида правильная, то: 1) в основании равносторонний треугольник (АВ = ВС = АС = 3); 2) боковые ребра пирамиды также одинаковы между собой (SA = SB = SC).
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: S = 1/2*p*a (где р = полупериметр основания (равен 9/2), а = апофема).
Рассмотрим треугольник SAB. Он равнобедренный (т.к. ребра пирамиды в данном случае одинаковы). А поскольку М - середина АВ, то отрезок SM - медиана этого треугольника. И по св-ву равнобедренного треугольника является также высотой.
Отсюда следует, что SM - апофема боковой грани SAB.
Ее мы найдем из формулы площади боковой поверхности:
45 = 1/2*9*а
откуда а = 10. Значит, SM = 10.