Question

Высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, делят угол при этой вершине на четыре равных угла. Найдите углы треугольника.

Answer 1

Воспользуемся тем, что в любом треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой (это известный факт и легко доказывается, поэтому здесь не буду) Итак, пусть один из этих 4-х углов равен х. Тогда один из углов тр-ка равен 90-х, угол между биссектрисой и основанием тоже равен 90-х. Тогда угол между медианой и основанием равен 90-2х, и третий угол треугольника равен 90-3х.
Если обозначить медиану треугольника через m, а половину основания через а, то по теореме синусов для треугольников образованных медианой получим:
m/sin(90-x)=a/sin(3x) и m/sin(90-3x)=a/sin(x). Отсюда
m/a=cos(x)/sin(3x)=cos(3x)/sin(x)
т.е.sin(2x)=sin(6x), откуда x=Pi/8. Т.е. углы треугольника Pi/2, 3Pi/8 и Pi/8. (При решении уравнения образуются еще углы, но они все не острые и нам не подходят).