Question

Дан выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами АВ = 9, BC = CD = 11, AD = 15 и диагональю АС =16.
а) Докажите, что около него можно описать окружность.
б) Найдите диагональ BD.

Answer 1

Четырехугольник можно вписать в окружность только тогда, когда сумма его  противолежащих углов равна 180 градусам. Если одна пара углов будет 180 градусов, то вторая 360 - 180 = 180

Обозначим угол ADC за α, а угол ABC за β

$16 ^{2} =15^{2} + 11^{2}-330cos\alpha$
$16 ^{2} =9 ^{2} + 11^{2}-198cos\beta$

$cos \alpha = \frac{9}{33}$
$cos \beta =- \frac{9}{33}$

α, β < 180
$cos \alpha +cos \beta =2cos( \frac{ \alpha + \beta }{2} )cos( \frac{ \alpha - \beta }{2} )=0$$cos( \frac{ \alpha + \beta }{2} )=0$
α+β=180
Следовательно, четырехугольник может быть вписан в окружность.

Обозначим угол BAD за γ

225+81-270cosγ=121+121+242cosγ
cosγ=0.125
BD^2=225+81-270cosγ=306-270*0.125=272.25
BD=16.5

Ответ: 16.5