Question

Помогите разобраться в решении логарифмического неравенства. Желательно поподробнее.

Answer 1

ОДЗ:
$1) \frac{x-3}{3}\ \textgreater \ 0$
Значит,  х>3
$2) \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} \ \textgreater \ 0$
(x-4)²≥0  при любом х
значит, х >3    и х≠4
Итак  (3;4)U(4;+∞)

Преобразуем
$log_{0,2} \frac{x-3}{3}= log_{ \frac{1}{5} } \frac{x-3}{3}= log_{ 5 ^{-1} } \frac{x-3}{3}=-log_5 \frac{x-3}{3}$
Но при возведении в квадрат, знак минус исчезает и
$log ^{2} _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} \ \textgreater \ log ^{2} _5\frac{x-3 }{3}$
Переносим все влево и раскладываем на множители
$(log _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} -log _5\frac{x-3 }{3})( log _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} +log _5\frac{x-3 }{3})\ \textgreater \ 0$
На ОДЗ  данное неравенство равносильно совокупности двух систем
$1) \left \{ {{log _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} -log _5\frac{x-3 }{3}\ \textgreater \ 0} \atop { log _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} +log _5\frac{x-3 }{3}\ \textgreater \ 0}} \right.$
$2) \left \{ {{log _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} -log _5\frac{x-3 }{3}\ \textless \ 0} \atop { log _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} +log _5\frac{x-3 }{3}\ \textless \ 0}} \right.$
или
$1) \left \{ {{log _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} \ \textgreater \ log _5\frac{x-3 }{3}} \atop { log _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} \ \textgreater \ -log _5\frac{x-3 }{3}}} \right.$
$2) \left \{ {{log _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} \ \textless \ log _5\frac{x-3 }{3}} \atop { log _5 \frac{(x-4) ^{2}(x-3) }{48} \ \textless \ -log _5\frac{x-3 }{3}}} \right.$
В силу возрастания логарифмической функции с основанием 5  и учитывая, что
$-log_5 \frac{x-3}{3} =log_5( \frac{x-3}{3} ) ^{-1}=log_5( \frac{3}{x-3} )$
решаем следующие две системы
$1) \left \{ {{ \frac{(x-4)^{2}(x-3) }{48} \ \textgreater \ \frac{x-3}{3} } \atop {\frac{(x-4)^{2}(x-3) }{48} \ \textgreater \ \frac{3}{x-3} }} \right.$
или
учитывая, ОДЗ :  (х-3)/3 >0
$\left \{ {{ \frac{(x-4) ^{2} }{16}\ \textgreater \ 1 } \atop { \frac{(x-4) ^{2} }{16}\ \textgreater \ \frac{9}{(x-3) ^{2} } }} \right.$
Первое даст х²-8х>0  и ответ первого неравенства первой системы (-∞;0)U(8;+∞)
Второе  ( можно извлечь корень и слева и справа) получим неравенство с модулем, с учетом ОДЗ  модули можно опустить, тогда неравенство приведет к простому квадратному х²-7х>0 и ясно, что решение первой систеы - решение первого неравенства, которое опять с учетом ОДз дает промежуток (8; +∞)
Система 2) решается аналогично и приводит
 $\left \{ {{ \frac{(x-4) ^{2} }{16}\ \textless \ 1 } \atop { \frac{(x-4) ^{2} }{16}\ \textless \ \frac{9}{(x-3) ^{2} } }} \right.$
Первое неравенство
х²-8х<0
решение  (0;8) с учетом ОДЗ  (3;4)U(4;8)
Второе
х²-7х<0
c учетом оДЗ (3;4)U(4;7)
И решение второй системы
(3;4)U(4;7)
Общий ответ
(3;4)U(4;7)U(8;+∞)