Question

Тема: Изображение комплексных чисел
на координатной плоскости
Известно, что |z1|=|z2|=|z3|=0 и |z1+z2+z3|=0. Докажите, что
точки z1, z2, z3 образуют равносторонний треугольник.

Answer 1

Попробуем так $|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3} \neq 0 \\ |z_{1}+z_{2}+z_{3}|=0$  
положим что существуют такие числа $z_{1}=a+ib\\ z_{2}=c+id\\ z_{3}=e+if$   
 и такие что $a;b \neq c;d \neq e;f$ 
По условию 
$|z_{1}|=\sqrt{a^2+b^2} \\ |z_{2}| = \sqrt{c^2+d^2}\\ |z_{3}| = \sqrt{e^2+f^2}$ 
и  $(a+c+e)^2+(b+d+f)^2=0$ 
то есть имеет места система  
$\left \{ {{a^2+b^2=c^2+d^2=e^2+f^2 } \atop { (a+c+e)^2+(b+d+f)^2=0}} \right.$ 
Со второй системы уравнения следует что 
$\left \{ {{a+c+e=0} \atop {b+d+f=0}} \right.$   
Тогда как  выразим  $c$ и $d$ с данного  уравнения и подставим в выражение 
$ac+bd;ec+fd$ 
Теперь выразим $e ; f$ и подставим  в выражения 
$ec+fd;\\ ea+bf$ 
Получим  
$a^2+b^2= c^2+d^2\\ c^2+d^2=e^2+f^2$  
Значит выражения 
$ac+bd=ec+fd=ea+bf$ , 
Заметим что $(c-a)^2+(d-b)^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2(ac+bd) \\ (e-c)^2+(f-d)^2=e^2+f^2+c^2+d^2-2(ec+fd)\\ (e-a)^2+(f-b)^2 = e^2+a^2+f^2+b^2-2(ea+bf)$ 
Учитывая что 
$|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|$ 
Получим что  три выше сказанные выражения равны 
а так как   $(c-a)^2+(d-b)^2 ; (e-c)^2+(f-d)^2 ; (e-a)^2+(f-b)^2$  - есть стороны длины и они как доказали равны , то есть удовлетворяют равенству сторон  ,  а это в свою очередь равносторонний треугольник.