Question

Помогите пожалуйста с номером 3.

Answer 1

$\log_{3} x+ \log_{x} 3\ \textgreater \ 2$
$\log_{3} x+ \frac{\log_{3} 3}{\log_{3} x} \ \textgreater \ 2$
$\log_{3} x+ \frac{1}{\log_{3} x} \ \textgreater \ 2$
$(\log_{3} x)^{2} +1\ \textgreater \ 2*\log_{3} x$
$(\log_{3} x)^{2}-2\log_{3} x +1\ \textgreater \ 0$
назначим: $\log_{3} x=t$
получим: t²-2t+1>0
D=2²-4*1=4-4=0
t₁=t₂=2/2=1   ⇒ t∈(-∞;1)∨(1;+∞)
$\log_{3} x=t=1$  ⇒  x=3  ⇒  x∈(-∞;3)∨(3;+∞)

Answer 2

$log_3x+log_x3\ \textgreater \ 2$

ОДЗ:
$x\ \textgreater \ 0 \\ x \neq 1$

Решение:

$log_3x+log_x3\ \textgreater \ 2 \\ \\ log_3x+ \frac{1}{log_3x} -2\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{log^2_3x+1-2log_3x}{log_3x}\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{log^2_3x-2log_3x+1}{log_3x}\ \textgreater \ 0 \\ \\ log_3x=t \\ \\ \frac{t^2-2t+1}{t}\ \textgreater \ 0 \\ \\ t^2-2t+1=0 \\ (t-1)^2=0 \\ t=1 \\ \\ t=0$
Наносим на ось $t$ корни $0$ и $1$. Знаки будут $-++$   . Нам нужно $\ \textgreater \ 0$ . Значит $t$ ∈ $(0;1)$ U $(1;+$беск.$)$

Теперь возвращаемся к нашей замене  и подставляем под $t$   $log_3x$
${{0\ \textless \ log_3x\ \textless \ 1} \atop {log_3x\ \textgreater \ 1}} \\ \\ \left \{{log_3x\ \textgreater \ 0} \atop {log_3x\ \textless \ 1}} \right. \\ log_3x\ \textgreater \ 1 \\ \\ \left \{ {{x\ \textgreater \ 1} \atop {x\ \textless \ 3}} \right. \\ x\ \textgreater \ 3$

Ответ: $x$ ∈ $(1;3)$ U $(3;+$ беск.$)$