Question

Помогите решить ,пожалуйста )
$(sin2x-sinx)*( \sqrt{2} + \sqrt{-2ctgx} )=0$

Answer 1

Вторая скобка решений не имеет, так как корень не может быть отрицательным. Поэтому он даёт нам лишь ограничение ОДЗ:
$-2ctgx \geq 0 \\ ctgx \leq 0$
x принадлежит второй  и четвёртой четвертям.

Решаем первую скобку:
$sin2x = sinx \\ 2sinxcosx = sinx \\ sinx(2cosx - 1) = 0 \\ sinx = 0, cosx = \frac{1}{2} \\ 1. sinx = 0 \\ x = \pi n, n \in Z \\ 2. cosx = \frac{1}{2} \\ x = +- \frac{ \pi}{3} + 2 \pi n,n \in Z$


Но помним, что x принадлежит второй и четвёртой четвертям, а
$x = \frac{ \pi }{3} + 2 \pi n, n \in Z$
лежит в первой четверти,  поэтому он не является решением.

Также, в точках
$x = \pi n,m \in Z$
ctg(x) не существует, поэтому наш ответ:

$x = -\frac{ \pi}{3} + 2 \pi n, n \in Z$