Question

Помогите найти интегралы
пошаговое решение пожалуйста

Answer 1

1) $\int{ \frac{x^3}{x^8 - 2} } \, dx = \int{ \frac{x^3}{(x^4 - \sqrt{2})(x^4 + \sqrt{2}) } \, dx = \frac{1}{4} \int{ \frac{d(x^4 - \sqrt2)}{(x^4 - \sqrt{2})(x^4 + \sqrt{2}) } \,$

$x^4 - \sqrt{2} = t$

$\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t(t + 2 \sqrt{2}) } \, =\frac{1}{8 \sqrt{2} } \int \frac{dt}{t} - \frac{1}{8 \sqrt{2} } \int \frac{dt}{t + 2 \sqrt{2} } = \frac{1}{8 \sqrt{2} } ln|t| - \frac{1}{8 \sqrt{2} }ln|t+2\sqrt{2}|+c$$= \frac{1}{8 \sqrt{2} } ln|x^4 - \sqrt{2}| - \frac{1}{8 \sqrt{2} }ln|x^4+\sqrt{2}| + C, C = const.$

На сумму элементарных дробей разбивали методом неопределенных коэффициентов:
$\frac{1}{t(t+2\sqrt{2})} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+2\sqrt{2}}$

Чтобы найти коэффициенты нужно решить систему:
$\left \{ {{A + B= 0} \atop {2\sqrt{2}A = 1}} \right.$

2) $\int \frac{dx}{xlnxln(lnx)} = \int \frac{d(lnx)}{lnxln(lnx)} = \int \frac{dt}{tlnt} = \int \frac{d(lnt)}{lnt} = \int \frac{dy}{y} = ln|y| + c =$$= ln|ln|t|| + c = ln|ln|ln|x||| + C, C = const.$

3) $I = \int \sqrt{a^2 + x^2}dx$
Применим формулу интегрирования по частям:
$u = \sqrt{a^2 + x^2} \\ du = \frac{x}{ \sqrt{a^2 +x^2} } dx \\ dv = dx\\ v = x$
Получим:
$uv - \int vdu = x \sqrt{a^2 +x^2} - \int \frac{x^2}{ \sqrt{a^2 +x^2} }dx = x \sqrt{a^2 +x^2} - \int \frac{x^2 + a^2 - a^2}{ \sqrt{a^2 +x^2} }dx =$$= x \sqrt{a^2 +x^2} - \int \frac{x^2 + a^2}{ \sqrt{a^2 +x^2} }dx + a^2 \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2 +x^2} }=$$x \sqrt{a^2 +x^2} - \int \sqrt{a^2+x^2}dx+a^2ln|x+ \sqrt{a^2+x^2}| + c.$
Получили следующее:
$I = x \sqrt{a^2 +x^2} - I+a^2ln|x+ \sqrt{a^2+x^2}| + c.$
$2I = x \sqrt{a^2 +x^2} +a^2ln|x+ \sqrt{a^2+x^2}| + c.$
$I = \frac{1}{2} (x \sqrt{a^2 +x^2} +a^2ln|x+ \sqrt{a^2+x^2}| + c)$
4) Такой же интеграл появлялся в решении третьего.