Question

Найдите частные производные второго порядка функции: z=x*arctgкорень из х-2y

Answer 1

$z=x\cdot arctg\sqrt{x-2y}\\\\z'_{x}=arctg\sqrt{x-2y}+x\cdot \frac{1}{1+x-2y}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2y}}\\\\z'_{y}=x\cdot \frac{1}{1+x-2y}\cdot \frac{-2}{2\sqrt{x-2y}}=\frac{-x}{(1+x-2y)\sqrt{x-2y}}\\\\z''_{xx}=\frac{1}{1+x-2y}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2y}}+\frac{1}{2(1+x-2y)\sqrt{x-2y}}+x\cdot (-\frac{1}{(1+x-2y)^2})\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2y}}+\\\\+\frac{x}{1+x-2y}\cdot (-\frac{1}{4(x-2y)}\cdot \frac{1}{\sqrt{x-2y}})$

$z''_{yy}=-x\cdot \frac{-1\cdot (-2)}{(1+x-2y)^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x-2y}}-\\\\-x\cdot \frac{1}{1+x-2y}\cdot (-\frac{1}{x-2y}\cdot \frac{-2}{2\sqrt{x-2y}})\\\\z''_{yx}=-\frac{1}{1+x-2y}\cdot \frac{1}{\sqrt{x-2y}}-x\cdot (-\frac{1}{(1+x-2y)^2})\cdot \frac{1}{\sqrt{x-2y}}-x\cdot \frac{1}{1+x-2y}\cdot \\\\\cdot (-\frac{1}{x-2y}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2y}})$