Question

докажите тождество никак не получается

Answer 1

$1)\; \; sinx+cosx+\sqrt2=\, [sinx+sin(\frac{\pi}{2} -x)\, ]+\sqrt2=\\\\=2sin\frac{x+(\frac{\pi }{2}-x)}{2}\cdot cos\frac{x-(\frac{\pi }{2}-x)}{2}+\sqrt2=2sin\frac{\pi}{4}\cdot cos(x-\frac{\pi}{4})+\sqrt2=\\\\=2\frac{\sqrt2}{2}\cdot cos(x-\frac{\pi}{4})+\sqrt2=\sqrt2\cdot (cos(x-\frac{\pi}{4})+1)=\\\\=[\, Formyla:\; 1+cos \alpha =2\cdot cos^2\frac{ \alpha }{2}\, ]=\\\\=\sqrt2\cdot 2cos^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8})$

$2)\; cos2x-sin2x-\sqrt2=[\, sin(\frac{\pi}{2}-2x)-sin2x\, ]-\sqrt2=\\\\=2cos\frac{(\frac{\pi}{2}-2x)+2x}{2}\cdot sin\frac{(\frac{\pi}{2}-2x)-2x}{2}-\sqrt2=\\\\=2cos\frac{\pi}{4}\cdot sin(\frac{\pi}{4}-2x)-\sqrt2=2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot sin(\frac{\pi}{4}-2x)-\sqrt2=\\\\=\sqrt2(sin(\frac{\pi}{4}-2x)-1)=\sqrt2(cos(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{4}-2x)-1)=\\\\=\sqrt2(cos(\frac{\pi}{4}+2x)-1)=\\\\=[\, Formyla:\; 1-cos \alpha =2sin^2\frac{ \alpha }{2}\, ]=\\\\=-2\sqrt2\cdot sin^2(\frac{\pi}{8}+x)$