Question

Помогите срочно. Биссекирисы углов А и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M рааноудалена от прямых AB, AD, CD.

Answer 1

АМ и ДМ - биссектрисы углов А и Д. МЕ и МН - расстояния от точки М до прямых АВ и АД. Значит нужно доказать, что МЕ = МН.
(Рисунок не совсем качественный получился, но для решения пойдет)
Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Значит тр-ки АЕМ и АНМ прямоугольные. У них гипотенуза АМ общая, а углы ЕАМ = НАМ так как АМ - биссектриса. Значит тр-ки АЕМ = АНМ по гипотенузе и острому углу. Из равенства тр-ков следует равенство их соответствующих сторон, т.е. МЕ = МН, что и требовалось доказать.

Р.С. Этого всего можно было и не делать, так как есть теорема, что любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.