Question

Помогите доказать задачу на комплексные числа:

Answer 1

Пусть $z=r(cos \phi+ i*sin \phi)$, тогда спряженное число равно
$\overline {z}=r(cos \phi- i*sin \phi)$

По формуле Муавра для комплексных чисел
$Z=r(cos \psi+i*sin \psi)$
справедливо равенство
$Z^n=r^n*(cos \psi+i*sin \psi)^n=r^n*(cos (n*\psi)+i*sin(n*\psi))$
(а также используя четность косинуса и нечетность синуса
$cos A=cos(-A); sin(-A)=-sin A$)
имеем
$(\overline z)^n=(r*(cos \phi-i*sin \phi)^n=\\\\(r*(cos(-\phi)+i*sin(-\phi))^n=r^n*(cos (n*(-\phi))+i*sin(n*(-\phi)))=\\\\r^n*(cos (n*\phi)-i*sin(n*\phi))=\overline {z^n}$
что и требовалось доказать.
Доказано