Question

Прогрессия!!! Даю 500 баллов. Только с объяснением!!!
В арифметической прогрессии шестой член равен 10, а сумма второго и восьмого членов равна 12.
Cумма первых двенадцати членов прогрессии равна _____ .

Answer 1

Составим систему :
$\\ \left \{ {{a_6 = 10} \atop {a_2 + a_8 = 12}} \right.$
===
Мы знаем что :
$\\ a_n = a_1 + d(n-1)$, значит:
$a_6 = a_1 + 5d \\ a_2 = a_1 + d \\ a_8 = a_1 + 7d$
===
Подставляем в систему:
$\\ \left \{ {{a_1 + 5d = 10} \atop {a_1 + d + a_1 + 7d = 12}} \right.$
===
$\left \{ {{a_1 + 5d = 10} \atop {2a_1 + 8d = 12 | / 2}} \right.$
===
$\left \{ {{a_1 + 5d = 10 } \atop {a_1 + 4d = 6}} \right.$
===
Вычитаем второе уравнение системы из первого:
$a_1 - a_1 + 5d - 4d = 10 - 6 \\ d = 4$
===
Находим первый и двенадцатый член:
Нам известен шестой член , значит из него мы можем найти и первый.
$a_6 = a_1 + 5d \\ a_1 = a_6 - 5d \\ a_1 = 10 - 5*4 = 10 - 20 = -10$
Найдём двенадцатый член:
$a_12 = a_1 + 11d \\ a_12 = -10 + 11 * 4 = -10 + 44 = 34$
Найдём сумму двенадцати членов:
$\\ S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \\ \\ S_12 = \frac{(-10 + 34)*12}{2} = 24 * 6 = 144$
Ответ: 144