Question

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, т.е. точка пересечения биссектрис треугольника ABC. На прямой BC отметим точки A1 и A2, на прямой AC — точки B1 и B2, а на прямой AB — точки C1 и C2 так, что
OA1=OA2=OA,OB1=OB2=OB,OC1=OC2=OC.
Известно, что AB=5, BC=7, CA=8. Найдите A1A2+B1B2+C1C2.

Answer 1

Пусть наша вписанная окружность касается сторон AB, BC, AC в точках  M, P, Q соответственно. Тогда треугольники AOM и A1OP равны по гипотенузе и катету. Значит A1A2=2A1P=2AM. Аналогично B1B2=2BP и С1С2=2CQ. Значит A1A2+B1B2+C1C2=2AM+2BP+2CQ=AB+BC+AC=5+7+8=20 (т.к. отрезки касательных равны).