Question

вероятность появления птенца из гнезда равно 0,85. В гнезде отложено 3 яйца.написать закон распределения случайной величины-число птенцов в гнезде.вычислить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение

Answer 1

Дискретная случайная величина X имеет следующие возможные значения:
$x_1=0$ (ни один из птенцов не появился), $x_2=1$ (появился один), $x_3=2$ (появились два), $x_4=3$ (появились три).
Появление птенцов независимо друг от друга, и вероятности появления каждого птенца равны между собой, значит мы можем применить формулу Бернулли.
$P_n(k)=C_n^k*p^k*q^{n-k}$
По условию $n=3,p=0,85, q=1-p=1-0,85=0,15$.
Получим
$P_3(0)=q^3=0,15^3=0,003 \\ P_3(1)=C_3^1*p*q^2=3*0,85*0,15^2=0,057 \\ P_3(2)=C_3^2*p^2*q=3*0,85^2*0,15=0,325\\ P_3(3)=p^3=0,85^3=0,614$
Искомый закон распределения
X         0          1           2          3
p      0,003    0,057    0,325    0,614
Математическое ожидание вычисляется по формуле:
$M(X)=x_1*p_1+x_2*p_2+...+x_n*p_n.$
Получим
$M(X)=0*0,003+1*0,057+2*0,325+3*0,614=2,549.$.
Для нахождения среднеквадратического отклонения необходимо написать закон распределения случайной величины для $X^2$.
$X^2$       0          1           4          9
p     0,003    0,057    0,325    0,614
Вычислим $M(X^2)=0*0,003+1*0,057+4*0,325+9*0,614=6,883$.
Cреднеквадратическое отклонение равно $o(X)= \sqrt{D(X)}$, где D(X) - дисперсия биномиального распределения.
$D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2$
Подставляем
$D(X)=6,883-2,549^2=0,386$
$o= \sqrt{0,386}=0,621$
Ответ: Математическое ожидание равно 2,549, среднеквадратическое отклонение равно 0,621.