Question

$\sqrt{ x^{2} +4x +8} + \sqrt{ x^{2} +4x+4} = \sqrt{2( x^{2}+4x+6) }$. Помогите решить.

Answer 1

ОДЗ:$\begin{cases} & \text{ } x^2+4x+8 \geq 0 \\ & \text{ } x^2+4x+4 \geq 0 \\ & \text{ } x^2+4x+6 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \in R$

Произведем замену переменных
 Пусть $x^2+4x+4=t$, причем видим что x²+4x+4=(x+2)² и $t \geq 0$
В результате замены переменных получаем исходное уравнение
$\sqrt{t+4}+ \sqrt{t} = \sqrt{2t+4}$
 Возведем оба части до квадрата
$(\sqrt{t+4}+ \sqrt{t})^2 =( \sqrt{2t+4} )^2 \\ t+4+t+2 \sqrt{t(t+4)}=2t+4 \\ 2 \sqrt{t(t+4)}=0 \\ t_1=0$
$t_2=-4$ - не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене
 $(x+2)^2=0\\ x+2=0\\ x=-2$

Окончательный ответ: $-2.$