Question

В остроугольном треугольнике ABC проведены высота BH и биссектриса AD,пересекающиеся в точке O. Оказалось,что угол AOB в четыре раза больше угла DAB.Чему равен угол CAB? а)30 б) 45 в) 60 г) 75 д)90

Answer 1

Δ $ABC$  -  остроугольный

$AD -$  биссектриса

$BH-$  высота

$BH$ ∩ $AD=O$

Пусть  $\ \textless \ BAD=\ \textless \ CAD=x$  $(AD-$ биссектриса$)$

тогда  $\ \textless \ BOA=4x$

$\ \textless \ CAB=2\ \textless \ BAD=2x$

$BH$ ⊥ $AC$

Δ $AHB-$  прямоугольный  $(\ \textless \ H=90к)$

$\ \textless \ ABH+\ \textless \ BHA+\ \textless \ HAB=180к$

$\ \textless \ ABH+90к+2x=180к$

$\ \textless \ ABH=90к-2x$

С другой стороны рассмотрим Δ $AOB$

$\ \textless \ ABO+\ \textless \ BOA+\ \textless \ OAB=180к$

$\ \textless \ ABO+4x+x=180к$

$\ \textless \ ABO=180к-5x$

Приравняем

$90к-2x=180к-5x$

$3x=90к$

$x=30к$ -  $\ \textless \ BAD$

$\ \textless \ BAC=2*30к=60к$

Ответ:  $60к$