Question

Хэй, нужна помощь, причем очень срочно и очень прошу! ;)
Условие: Отрезок MS -- диаметр окружности, длина радиуса которой равна 5 см, а центром является точка О. Точка T лежит на окружности и угол MOT = 120 градусам.
Вычислите: Площадь треугольника MTS и расстояние от точки Т до прямой MS.
Надеюсь на Вашу помощь, заранее спасибо.)

Answer 1

Треугольник MTS - вписанный в окружность диаметром 10 см. Причем, он еще и прямоугольный, так как именно у прямоугольных треугольников центр окружности лежит на середине гипотенузы (MO=OS=5 см). 

Теперь мы рассмотрим треугольник МОТ. У него МО = 5 см, и угол МОТ = 120 градусов. Следовательно, по теореме синусов мы можем найти сторону МТ. 
МТ/(sin MOT) = 2R
MT/$( \sqrt{3} )/2$ = 2*5
MT = 10*$( \sqrt{3}) /2$ = $5 \sqrt{3}$

Для вычисления площади нам нужна третья сторона. Треугольник MTS - прямоугольный, а значит, мы можем применить теорему Пифагора:
$x^{2} +(5 \sqrt{3})^2 = 10^2$
$x^{2} + 75 = 100$
$x^{2} = 25$
х = 5.

Теперь мы можем найти его площадь по половине произведения его катетов.
$S = \frac{1}{2}*5*5 \sqrt{3} = 12.5 \sqrt{3}$ $cm^2$

2) Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр, опущенный из этой точки на прямую. 
Точка из т.Т на прямой MS допустим, называется, К. 
Итак, мы имеем прямоугольный треугольник МТК. 
Но перед тем, как к нему переходить, рассмотрим другой треугольник, треугольник OTS. Он равносторонний (OS=5(радиус окружности), TS=5(мы нашли по теореме Пифагора), OT = 5 (радиус окружности)). А значит, угол OST = 60 градусов. 
Угол М теперь находится просто: 180 - 90(это угол MTS) - 60 (это угол OST) = 30 градусов.
Вернемся к треугольнику MTK, в котором MT = $5 \sqrt{3}$ и угол M = 30 градусов.
А катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Следовательно, искомое расстояние от точки Т до прямой MS = $\frac{5 \sqrt{3} }{2} = 2.5 \sqrt{3}$