Question

Помогите решить!!!
Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, используя метод подбора коэффициентов частного решения (метод неопределенных коэффициентов)
y’’-2y’+y=x^3

Answer 1

$y''-2y'+y=x^3\\\\1)\; \; y''-2y'+y=0\\\\Zamenyaem:\; \; y''\; \to \; k^2,\; y'\; \to \; k,\; y\; \to \; 1\\\\k^2-2k+1=0\; ,\; \; (k-1)^2=0,\; \; k_1=k_2=1\\\\y_{obshee\; reshen.\; odnorodnogo\; yravneniya}=e^{x}(C_1+C_2x)\\\\2)\; \; f(x)=x^3\; \; \to \; \; y_{chastn.reshen.}=Ax^3+Bx^2+Cx+D\\\\y'=3Ax^2+2Bx+C\\\\y''=6Ax+2B$

$y''-2y'+y=\\\\=(6Ax+2B)-2(3Ax^2+2Bx+C)+(Ax^3+Dx^2+Cx+D)=x^3\\\\x^3=1\cdot x^3+0\cdot x^2+0\cdot x+0\cdot x^0\\\\x^3\, |\, A=1\\\\x^2\, |\, -6A+B=0\\\\x\, |\, 6A-4B+C=0\\\\x^0\, |\; 2B-2C+D=0\\\\A=1,\; B=6,\; C=4B-6A=18,\; D=2C-2B=24$

$y_{chastn.resh.}=x^3+6x^2+18x+24\\\\y_{obsh.resh.neodnor.yravnen.}=e^{x}(C_1+C_2x)+x^3+6x^2+18x+24$