Question

1. решить предел Лапиталем: lim(x->0) ((ln sin2x)/(ln sinx))

Answer 1

n 2x = 2 sinx * cos x
выносим из числителя 2 sinx. lim(x->0) 2 sinx/ х = 2
осталось вычислить lim(x->0) [cos x - 1 ] / ln cos(5x) неопределенность 0 на 0.
Проще всего по Лопиталю - вычислить производные числителя и знаменателя
Без Лопиталя
cos x -1 = - 2 sin^2 (x/2)
ln cos(5x) = ln [1+ ( cos 5x - 1) ] = ln [ 1- 2 sin^2 (5x/2) ]
---> - 2 sin^2 (5x/2)
после подстановки имеем
lim(x->0) { - 2 sin^2 (x/2) } / { - 2 sin^2 (5x/2) } = lim(x->0) { x^2/4 * [ sin^2 (x/2) / (x/2)^2} / { 25 x^2/4 * [sin^2 (5x/2)/(5x/2)^2 }=
= lim(x->0) { x^2 / 25 x^2 } =1/25

[ sin^2 (x/2) / (x/2)^2}=1 [sin^2 (5x/2)/(5x/2)^2 =1

Answer 2

По правилу Лопиталя

$lim_{x to 0}frac{ln sin2x}{ln sinx}=frac{-infty}{-infty}$

т.е. правило Лопиталя применять можно

Применяем

$lim_{x to 0}frac{ln sin2x}{ln sin x}=lim_{x to 0}frac{(ln sin2x)'}{(ln sin x)'}=\ lim_{x to 0}frac{frac{1}{sin2x}cos2x*2}{frac{1}{sin x}*cos x}=lim_{x to 0}frac{2*cos2x*sin x}{sin2x*cos x}=\ lim_{x to 0}frac{2*cos2x*sin x}{2 sin x*cos x*cos x}=lim_{x to 0}frac{cos2x}{ cos^2 x}=\ frac{cos 0}{ cos^2 0}=frac{1}{1}=1$