Question

Решите намер 1440,1442.

Answer 1

1440) $\int\ { \frac{1}{x^{2} -2x} } \, dx = \int\ { \frac{1}{x(x-2)} } \, dx$
назначим:
$\frac{1}{x(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2}$
отсюда:
1=A(x-2)+Bx
1=Ax-2A+Bx
1=(A+B)x-2A      ⇒      $\left \{ {{-2A=1} \atop {A+B=0}} \right. \left \{ {{A=- \frac{1}{2} } \atop {B= \frac{1}{2} }} \right.$
получается что:
${ \frac{1}{x^{2} -2x} } =\frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} =- \frac{1}{2x} + \frac{1}{2(x-2)}$
отсюда
$\int\ { \frac{1}{x^{2} -2x} } \, dx=\int\ ({- \frac{1}{2x} + \frac{1}{2(x-2)} }) \, dx=- \frac{1}{2} lnx+ \frac{1}{2} ln(x-2)=$$\frac{1}{2} ln(x(x-2))+C$

1442)$\int\ { \frac{1}{ x^{4}- x^{2} } } \, dx = \int\ { \frac{1}{ x^{2}( x^{2} -1) } } \, dx= \int\ { \frac{1}{ x^{2}(x-1)(x+1) } } \, dx$
назначим:
$\frac{1}{ x^{2}(x-1)(x+1) }= \frac{Ax+B}{ x^{2} }+ \frac{C}{x-1} + \frac{D}{x+1}$
1=(Ax+B)(x²-1)+Cx²(x+1)+Dx²(x-1)
1=Ax³-Ax+Bx²-B+Cx³+Cx²+Dx³-Dx²
1=(A+C+D)x³+(B+C-D)x²-Ax-B
⇒ -B=1                  ⇒  B=-1
   -A=0                        A=0
   B+C-D=0                 C-D=1
   A+C+D=0                C+D=0
$\left \{ {{C=1+D} \atop {1+D+D=0}} \right. \left \{ {{C=1- \frac{1}{2}= \frac{1}{2} } \atop {D=- \frac{1}{2} }} \right.$
Получим
$\frac{1}{ x^{2}(x-1)(x+1) }= \frac{-1}{ x^{2} } + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)}$
отсюда
$\int\ { \frac{1}{ x^{4}- x^{2} } } \, dx = \int\ {(\frac{-1}{ x^{2} } + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)} )} \, dx =$$\frac{1}{x} + \frac{1}{2} ln(x-1)- \frac{1}{2}ln(x+1)= \frac{1}{x} + \frac{1}{2} ln( \frac{x-1}{x+1} )$+C