Question

Докажите что периметр треугольника меньше удвоенной суммы его медиан

Answer 1

Пусть в стороны треугольника равны a,b,c, а медианы, проведенные к соответствующим сторонам, равны $m_a, m_b, m_c$. Рассмотрим треугольник с медианой $m_a$, проведенной к стороне a. Медиана разбивает треугольник на два треугольника, для каждого из этих двух треугольников запишем неравенство треугольника, учитывая, что медиана $m_a$ делит сторону a пополам:

$b\ \textless \ \frac{a}{2} +m_a$
$c\ \textless \ \frac{a}{2} +m_a$

Сложим данные неравенства и получим:

$b+c\ \textless \ a+2m_a$

Аналогичные действия можно проделать с двумя другими медианами. В итоге мы получим три неравенства:

$b+c\ \textless \ a+2m_a$
$a+c\ \textless \ b+2m_b$
$a+b\ \textless \ c+2m_c$

Сложим данные неравенства. Получим:

$2(a+b+c)\ \textless \ (a+b+c)+2(m_a+m_b+m_c)$

Теперь вычтем из обеих частей неравенства (a+b+c). Получим:

$a+b+c\ \textless \ 2(m_a+m_b+m_c)$

А это есть именно то утверждение, которое требуется доказать.