Question

Вычислить двойной интеграл,ограниченного заданными линиями: ∫ ∫ по области D (x^3-2y) dxdy, D: y=x^2-1, x>=0, y<=0

Answer 1

$\iint _{D}(x^3-2y)dx\, dy=\int _0^1dx\int _{x^2-1}^0(x^3-2y)dy=\\\\=\int _0^1[\, (x^3y-y^2)|_{x^2-1}^0\, ]dx=\int _0^1[\, 0-x^3(x^2-1)+(x^2-1)^2\, ]dy=\\\\=\int _0^1(-x^5+1+x^4-2x^2+1)dx=(-\frac{x^6}{6}+2x+\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3})_0^1=\\\\=-\frac{1}{6}+2+\frac{1}{5}-\frac{2}{3}=\frac{41}{30}$