Question

4cos3x + 3sin3x = 5 как решить?

Answer 1

4cos(3x) + 3sin(3x) = 5

●   Преобразуем данное уравнение, применив следующие формулы:

cos(3x) = cos²( 3x/2 ) - sin²( 3x/2 ) -  косинус двойного аргумента

sin(3x) = 2sin( 3x/2 )•cos( 3x/2 )  -  синус двойного аргумента

cos²( 3x/2 ) + sin²( 3x/2 ) = 1  - основновное тригонометрическое тождество

4•(  соs²( 3x/2 ) - sin²( 3x/2 )  )  +  3•(  2sin( 3x/2 )•cos( 3x/2 )  )  =  5•(  cos²( 3x/2 ) + sin²( 3x/2 )  )

●  Раскроем скобки, перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые:

4соs²( 3x/2 ) - 4sin²( 3x/2 ) + 6sin( 3x/2 )•cos( 3x/2 ) - 5cos²( 3x/2 ) - 5sin²( 3x/2 ) = 0

- 9sin²( 3x/2 ) + 6sin( 3x/2 )•cos( 3x/2 ) - cos²( 3x/2 ) = 0

●  В результате получаем однородное уравнение, которое решается методом деления на cos²( 3x/2 ) или sin²( 3x/2 ), чтобы добиться квадратного уравнения. Прежде чем делить, можно заметить, что cos( 3x/2 ) = 0 нас не интересует. Предположим, что cos( 3x/2 ) равен нулю, тогда из уравнения следует, что sin( 3x/2 ) также равен нулю. Но косинус и синус одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству. Значит, cos( 3x/2 ) ≠ 0

$frac{-9( sin( 3x/2 )  )^{2}} { - ( cos( 3x/2 ))^{2} } + frac{6sin( 3x/2 )cos( 3x/2 )}{- ( cos( 3x/2 ))^{2}} -frac{(cos( 3x/2 )^{2}} {- ( cos( 3x/2 ))^{2} } = 0$

9tg²( 3x/2 ) - 6tg( 3x/2 ) + 1 = 0

Сделаем замену: пусть tg( 3x/2 ) = t, тогда

9t² - 6t + 1 = 0    ⇒   ( 3t - 1 )² = 0   ⇒   3t - 1 = 0

t = 1/3    

tg( 3x/2 ) = 1/3

3x/2 = arctg( 1/3 ) + пn

3x = 2arctg( 1/3 ) + 2пn

x = (  2arctg( 1/3 ) / 3 ) + ( 2пn / 3 ) , где n ∈ Z

Ответ:  ( 2arctg( 1/3 ) / 3 ) + ( 2пn / 3 ) , где n ∈ Z