Question

Докажите неравенство для положительных значений переменных:

x+y≤(x/y+y/x)*√yx

Answer 1

так как x>0; y>0, то

$x+y leq (frac{x}{y}+frac{y}{x})sqrt{xy}; <=> \ (x+y)xy leq (x^2+y^2)sqrt{xy}; <=> \ (x+y)sqrt{xy} leq (x^2+y^2); <=> \ frac {x+y}{2}* 2sqrt{xy} leq (x^2+y^2); <=> \ frac {(x+y)^2}{2} leq (x^2+y^2);\ frac {x+y}{2} leq sqrt frac {x^2+y^2}{2}$

чтосправедливо как неравенство между средним арифмитечским и средним квадратическим

Доказано.

 

 

$sqrt(xy) leq frac{x+y}{2}$ - неравенство между средним геометрическим и средним арифмитическим