Question

Найти предел F=(1-cos(7x)^2)/(x^2) при х->0

Answer 1

Сделаем замену сначала: 7x=t, т.е $x=<var>frac{t}{7}</var>$

Поскольку x->0, то и 7x->0, значит и t->0.

Подставляем в наш предел то что получилось с учетом замены:

 

 

 $lim_{t to 0} frac{1-cos(t^2)}{frac{t^2}{7^2}}= \=lim_{t to 0} frac{49(1-cos(t^2))}{t^2}$

Поскольку нас неопределенность 0/0 можно использовать правило Лопиталя.

Получаем:

$lim_{t to 0} frac{49(2tcdot sin(t^2))}{2t}=\ =lim_{t to 0} 49(sin(t^2))=0$

 

 

 

 

 Возможно я не так понял задание и там имелось в виду:

 

 $lim_{x to 0} frac{1-cos^2(7x)}{x^2}$

 

 Тогда используем ту же самую замену.:

 

 $lim_{t to 0} frac{49(1-cos^2(t))}{t^2}= \= lim_{t to 0} frac{49(sin^2(t))}{t^2}= \=lim_{t to 0} 49cdot frac{(sin(t))}{t}cdot frac{(sin(t))}{t}$

 

 

 

Видим что здесь произведение двух "первых замечательных пределов", а именно:

 

 

 

 

 

$lim_{t to$