Question

В прямоугольный треугольник с катетом 12 см и противолежащим углом 30 вписан прямоугольник основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

Answer 1

ABC − прямоугольный треугольник (∠B = 90°)
BC = 12; ∠A = 30°; AC = BC/sin(∠A) = 24;
MNKT − вписанный прямоугольник
MN = TK = b (M и T лежат на гипотенузе)
TC = b·ctg(∠C) = b/√3
AM = b·ctg(∠A) = b·√3
MT = NK = a = AC − (AM + TC) = 24 − (4b√3)/3
S(MNKT) = a·b = b·(24 − (4b√3)/3)
y(b) = b·(24 − (4b√3)/3)
y'(b₁) = 0
b₁ = 3√3
a₁ = 12
его размеры должны быть 12см на 3√3 см.