Question

Решите уравнение:

$7( x+\frac{1}{x} )-2( x^2+\frac{1}{x^2} )=9$

Источник: Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа, М., 1990, с. 106 

... если не затруднительно, то поподробней...

Answer 1

Замена: $x+ \frac{1}{x} = t$
Тогда $x^{2} + \frac{1}{ x^{2} }=(x+ \frac{1}{x} )^{2}-2=t^{2}-2$
Получаем: 7t - 2·(t²-2) = 9
7t - 2t² + 4 = 9
2t² - 7t + 5 = 0
D = 49 - 40 = 9
t₁ = $\frac{7-3}{4}=1$
t₂ =$\frac{7+3}{4}=\frac{5}{2}$
$\left \{ {{x+ \frac{1}{x} = 1} \atop {x+ \frac{1}{x} = \frac{5}{2}} \right.$
Из первого уравнения: х ∈ пустому множеству, так как $x+ \frac{1}{x}$ ≥ 2.
Из второго уравнения: х₁ = 2, х₂ = $\frac{1}{2}$.
Ответ: х₁ = 2, х₂ = $\frac{1}{2}$.