Question

В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол 600. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.

Answer 1

Дано

прямоуг. трап. ABCD

AC   |   BD - диагонали

/  ACD = 60

Док-ть

BD=1/2(BC+AD)

Док-во

1) Рассм. тр. ACD

/  ACD = 60

/  ADC = 90 (AC   |   BD)

⇒ /  CAD = 180-90-60 = 30

2) Рассм. тр. AOD

/  AOD = 90 (AC   |   BD)

/  DAO = 30

⇒ /  ADO = 180-30-90 = 60

Значит OD=1/2*AD (в прям. тр. с углами 30, 60, 90, катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы)

3) Рассм. тр BOC

/  BOC = 90 (AC   |   BD)

/  OCB = 30 (по условию трап. прям. - /  BCD = 90)

⇒ /  CBO = 180-90-30 = 60

Значит BO=1/2*BC ((в прям. тр. с углами 30, 60, 90, катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы)

3) BD=BO+OD

BD=1/2*AD+1/2*BC = 1/2(AD+BC)

ч.т.д.