Question

У прямокутному трикутнику перпендикуляр проведений із вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки 9 см і 16 см. Точка простору віддалена від кожної сторони трикутника на 13 см. Обчисліть відстань від цієї точки до площини трикутника.

Answer 1

Легко понять, что, если соединить точку пространства со всеми тремя сторонами перпендикулярами и спроектировать это всё чудо на площадь треугольника, то точка спроектируется в центр вписанной окружности, а отрезки — в её радиусы. Поэтому для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно всего лишь найти этот радиус.

Гипотенуза треугольника равна 25 см. Далее, известный факт, что высота $AH$, проведённая к гипотенузе $BC$, может быть вычислена, как $AH = \sqrt{BH\cdot CH}$. Отсюда получаем
$AH = \sqrt{16 \cdot 9} = 12$
Найдём периметр из теоремы Пифагора:
$P = 25 + \sqrt{144 + 81} + \sqrt{144 + 256} = 25 + 15 + 20 = 60$

радиус окружности:
$r = \dfrac{S}{\frac{1}{2}P} = \dfrac{AH \cdot BC}{30} = \dfrac{12 \cdot 25}{30} = 10.$

$d = \sqrt{13^2 - 10^2} = \sqrt{69}.$

Ответ: $\sqrt{69}$

PS Доказательство формулы $AH = \sqrt{BH\cdot CH}$:

$\mathrm{tg} \: B = \dfrac{AH}{BH}$
$\mathrm{ctg} \: C = \dfrac{CH}{AH}$
$B = 90^\circ - C$
$\mathrm{ctg} \: B = \mathrm{ctg} \: (90^\circ - A) = \mathrm{tg} \: A$

$\dfrac{AH}{BH} = \dfrac{CH}{AH}$
$AH^2 = BH \cdot CH$