Question

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD. Помогите, пожалуйста!)

Answer 1

r = 7; радиус вписанной в треугольник ABC окружности.
1) Сумма расстояний от точки O до BС и AD равна 7 + 8 = 15; это - высота параллелограмма, и  - одновременно - высота треугольника ABC к стороне ВС; я обозначу эту высоту буквой h; h = 15;
2) Если обозначить точки касания сторон треугольника ABC с вписанной окружностью K - для AB, L - для BC, M - для AC, то AK = AM = 24 (треугольник AOK имеет катет 7 и гипотенузу 25, то есть это Пифагоров треугольник 7, 24, 25)
Легко видеть, что ПОЛУпериметр треугольника ABC равен p = AK + BL + CL = 24 + BC; 
3) теперь площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами
S = p*r = 7*(24 + BC) = h*BC/2 = 15*BC/2;
14*(24 + BC) = 15*BC; BC = 336;
S = 15*336 = 5040;