Question

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если один из углов треугольника равен 120°, а расстояние от центра окружности до вершины этого угла равно с.

Answer 1

Центр вписанного треугольника находится в точке пересечения биссектрис углов  а стороны  являются касательными  к этой окружности  
Пусть <B=120° ; O - центр окружности ; T - точка касания ; 
OT ┴  BO ;радиус_ OT=r ;  BO=c.
ИЗ ΔOTB :
<OBT =1/2*<B= 1/2*120° =60°.
r =OT =BO*sin<OBT =c*sin60° =c√3/2
****************************     или         *************************
OT ┴  BO ;
<BOT =90°-<OBT =90°-1/2*<B=90°-1/2*120°= 90°-60°=30°.
BT = BO/2=c/2(катет против угла  30°).
ИЗ ΔOTB по теореме Пифагора :
r =OT =√(BO² -BT²) =√(c² -(c/2))²)=√ (c² -c²/4)=√(3c²/4)=c√3/2