Question

найти определенный интеграл dx/(2-sqrt(1+x)), a=0; b=-3/4. Я решила у меня получается ответ (5\3), решила на онлайн калькуляторе там получается ln(81/16)-1 помогите пожалуйста,как будет правильно)))

Answer 1

У меня так получается:

$\int\limits^{0}_{-0.75} { \frac{dx}{2- \sqrt{1+x}}} \ =\int\limits^{0}_{-0.75} {-2 \sqrt{1+x}* \frac{d(2-\sqrt{1+x})}{2- \sqrt{1+x}}}$

Сделаем замену:
$2-\sqrt{1+x}=t$
$\sqrt{1+x}=2-t$

$\int\limits^{0}_{-0.75} {-2 \sqrt{1+x}* \frac{d(2-\sqrt{1+x})}{2- \sqrt{1+x}}} \ =$$\int\limits^{0}_{-0.75} {(-2*(2-t)* \frac{dt}{t}) \ =$$-2*\int\limits^{0}_{-0.75} {\frac{2-t}{t} \ dt=-2*(\int\limits^{0}_{-0.75} {\frac{2}{t} \ dt-\int\limits^{0}_{-0.75} {1} \ dt)=-2*(2ln|t|-t)=-4ln|t|+2t$

Вернемся к замене:
$-4ln|2-\sqrt{1+x}|+2*(2-\sqrt{1+x})|^{0}_{-0.75}=-4ln|2-\sqrt{1+0}|+2*(2-\sqrt{1+0})+4ln|2-\sqrt{1-0.75}|-2*(2-\sqrt{1-0.75})$$-4ln|1|+2*(2-1)+4ln|2-0.5|-2*(2-0.5)=2+4ln(1.5)-3=-1+4ln(1.5)=ln(1.5^{4})-1=ln(\frac{3^{4}}{2^{4}})-1=ln(\frac{81}{16})-1$