Question

10 БАЛЛОВ! Логарифмы.
Помогите разобраться с решением. Может ли в ответе получиться корень?

Answer 1

ОДЗ: $x\ \textgreater \ 0$
$\log_3(3x)\cdot \log_3(3^2x)\cdot \log_3(3^3x)=\log_3^3x+23 \\ (\log_33+\log_3x)(\log_33^2+\log_3x)(\log_33^3+\log_3x)=\log_3^3x+23 \\ (1+\log_3x)(2+\log_3x)(3+\log_3x)=\log_3^3x+23$
Пусть $\log_3x=t$, тогда получаем
$(1+t)(2+t)(3+t)=t^3+23$
$t^3+6t^2+11t+6-t^3-23=0 \\ 6t^3+11t-17=0 \\ D=b^2-4ac=11^2-4\cdot 6\cdot (-17)=529; \sqrt{D} =23 \\ t_1=- \frac{17}{6} \\ t_2=1$

Обратная замена
$\log_3x=- \frac{17}{6}$
$\log_3x=1$ - противоречит условию, так как x<3

Ответ: $- \frac{17}{6}$