Question

Решите, пожалуйста, выражение:

Answer 1

Для начала упростим то, что самое сложное. Заметим, что

$sin(frac{8*pi}{9})=sin(pi-frac{pi}{9})$

Формула синуса разности углов

$sin(pi-frac{pi}{9})=sin(pi)cos(frac{pi}{9})-sin(frac{pi}{9})cos(pi)$

$sin(pi-frac{pi}{9})=0*cos(frac{pi}{9})-sin(frac{pi}{9})*(-1)$

$sin(pi-frac{pi}{9})=sin(frac{pi}{9})$

 

$cos(frac{29pi}{18})=cos(2pi-frac{7pi}{18})$

Формула косинуса разности углов

$cos(2pi-frac{7pi}{18})=cos(2pi)cos(frac{7pi}{18})+sin(2pi)sin(frac{7pi}{18})$

$cos(2pi-frac{7pi}{18})=1*cos(frac{7pi}{18})+0*sin(frac{7pi}{18})$

$cos(2pi-frac{7pi}{18})=cos(frac{7pi}{18})$

 

Подставим, полученные выраңения в исходное выражение

$frac{2*sin(frac{pi}{9})-5*sin(frac{8*pi}{9})}{6*cos(frac{29*pi}{18})-3*cos(frac{7*pi}{18})}=frac{2*sin(frac{pi}{9})-5*sin(frac{pi}{9})}{6*cos(frac{7*pi}{18})-3*cos(frac{7*pi}{18})}$

 

$frac{2*sin(frac{pi}{9})-5*sin(frac{pi}{9})}{6*cos(frac{7*pi}{18})-3*cos(frac{7*pi}{18})}=frac{-3*sin(frac{pi}{9})}{3*cos(frac{7*pi}{18})}$

$frac{-3*sin(frac{pi}{9})}{3*cos(frac{7*pi}{18})}=-frac{sin(frac{pi}{9})}{cos(frac{7*pi}{18})}$

 

Теперь попытаемся упростить то, что в знаменателе

 

$cos(frac{7*pi}{18})=cos(frac{9*pi}{18}-frac{2*pi}{18})$

$cos(frac{7*pi}{18})=cos(frac{pi}{2}-frac{2*pi}{18})$

$cos(frac{7*pi}{18})=cos(frac{pi}{2}-frac{pi}{9})$

 

Формула коинуса разности углов

 

$cos(frac{7*pi}{18})=cos(frac{pi}{2})cos(frac{pi}{9})+sin(frac{pi}{2})sin(frac{pi}{9})$

$cos(frac{7*pi}{18})=0*cos(frac{pi}{9})+1*sin(frac{pi}{9})$

$cos(frac{7*pi}{18})=sin(frac{pi}{9})$

 

Возвращаясь к исходной формууле,

$-frac{sin(frac{pi}{9})}{cos(frac{7*pi}{18})}=-frac{sin(frac{pi}{9})}{sin(frac{pi}{9})}=-1.$

Ответ: -1.