Question

найдите корни уравнения на заданном промежутке: cos^2(3x+pi/4)-sin^2(3x+pi/4)+sqrt3/2=0 x Э [3П/4;П]

Answer 1

Здесь применима формула двойного угла для косинуса.

$cos^2alpha-sin^2alpha=cos(2*alpha)$

Если обозначить выражение в скобках через t, то есть $t=3x+frac{pi}{4}$,  то уравнение переписывается следующиим образом

$cos^2(t)-sin^2(t)+frac{sqrt{3}}{2}=0$.

$cos(2t)=-frac{sqrt{3}}{2}$. Если подставить значение t, то получим

$cosleft(6x+frac{pi}{2} right)=-frac{sqrt{3}}{2}$

Воспользуемся формулой косинуса суммы углов

$cos(6x)cos(frac{pi}{2})-sin(6x)sin(frac{pi}{2})=-frac{sqrt{3}}{2}$

$-sin(6x)=-frac{sqrt{3}}{2}$

$sin(6x)=frac{sqrt{3}}{2}$

$6x=(-1)^k*frac{pi}{3} pi*k</var>, quad kin Z$</p> <p><img src=[/tex]x=(-1)^k*frac{pi}{18}+frac{pi}{6}*k, quad kin Z" title="6x=(-1)^k*frac{pi}{3}+pi*k, quad kin Z" title="x=(-1)^k*frac{pi}{18}+frac{pi}{6}*k, quad kin Z" title="6x=(-1)^k*frac{pi}{3}+pi*k, quad kin Z" alt="x=(-1)^k*frac{pi}{18}+frac{pi}{6}*k, quad kin Z" title="6x=(-1)^k*frac{pi}{3}+pi*k, quad kin Z" />

$6x=(-1)^k*frac{pi}{3}+pi*k</var>, quad kin Z$

$<var>x=(-1)^k*frac{pi}{18}+frac{pi}{6}*k, quad kin Z" /></var></p> <p>Заметим, что при k=6, корень уже не попадает в заданный промежуток [tex][frac{3pi}{4}; pi]$,

$k=5 qquad -frac{pi}{18}+<var>frac{5pi}{6}</var>=<var>-frac{pi}{18}+<var>frac{15pi}{6}</var></var>=<var>frac{14pi}{18}</var>=frac{7pi}{9}$

Докажем, что $frac{7pi}{9}in [frac{3pi}{4};pi]$

$frac{7pi}{9}=frac{28pi}{36};quad frac{3pi}{4}=frac{27pi}{36}$

$frac{28pi}{36}in (frac{27pi}{36};pi)$

$k=4 qquad frac{pi}{18}+<var><var>frac{4pi}{6}</var></var>=frac{13pi}{18}$ Этот корень уже не попадает в промежуток, потому что

$frac{13pi}{18}=frac{26pi}{36}$

$frac{26pi}{36}<frac{27pi}{36}=frac{3pi}{4}$

То есть всего лишь один корень попадает в этот промежуток

Ответ: при k=5  $x=frac{7pi}{9}$