Question

На каждой стороне параллелограмма во внешнюю сторону построен квадрат. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами квадрата.

Answer 1

Сделаем рисунок.

 

Обозначим буквами P, Q и R центры квадратов, построенных на сторонах DA, AB и BC параллелограмма.

 

Острый угол  при вершине A обозначим α.

∠ PAQ = 1/2∠DAM +1/2∠BAN+ α = 90º+α  

∠ RBQ=360º-(180º-α) - 90º=180º- 90º+α=90º+α .

∠ PAQ =∠ RBQ
QB=AQ, BR=AP как половины равных диагоналей, а значит,

Δ PAQ = Δ RBQ.
PQ=RQ.
Стороны AQ и BQ этих треугольников перпендикулярны, поэтому PQ ⊥ QR.
Так же доказывается перпендикулярность других углов четырехугольника с равными сторонами.

Центры построенных на сторонах параллелограмма квадратов являются вершинами квадрата.